Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{(\frac{1}{6 - x}) - (\frac{1}{6})}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{6 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6})}{x}$

Schritt 1.2

Um $- (\frac{1}{6})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(6 - x) \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6 - x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(6 - x) \cdot 6$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (6 - x)} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x) x}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (6 - x)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Schritt 3.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $6 - (6 - x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (6 + 0)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.5.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.5.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - (6 - x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (6 - x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [6 - x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [6 - x]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 6 - x$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $6 - x$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Schritt 3.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 3.3.10

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Schritt 3.3.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1}$

Schritt 3.3.15

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - 1 \cdot x}$

Schritt 3.3.16

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - x}$

Schritt 3.3.17

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - 2 x}$

Schritt 3.3.18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 6}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 6}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot 0 + 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{0 + 6}$

Schritt 6.1.2

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 6.2

Multipliziere $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 6}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{36}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{36}$

Dezimalform:

$0.02\overline{7}$