Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - x} - x - 1$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - 8} - lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} - 8} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sqrt[3]{512 - 8} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $8$ von $512$ .

$\sqrt[3]{504} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.3

Schreibe $504$ als $2^{3} \cdot 63$ um.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $504$ heraus.

$\sqrt[3]{8 (63)} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 63} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt[3]{63} - 8 - 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \sqrt[3]{63} - 8 - 1$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$2 \sqrt[3]{63} - 9$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt[3]{63} - 9$

Dezimalform:

$- 1.04188558 \dots$