Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (8 x)}{6 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (8 x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - \cos (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (8 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (8 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (8 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 8 \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.4.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + 8 \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $8 \sin (8 x)$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (8 x)}{2 x}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sin (8 x)$ heraus.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 4 \sin (8 x)}{2 x}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 4 \sin (8 x)}{2 (x)}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 4 \sin (8 x)}{2 x}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (8 x)}{x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{6} \cdot 4 \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\cos (8 x)$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $8 \cos (8 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} 8 \cos (8 x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (8 x)$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 8 \cos (lim_{x \to 0} 8 x)$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 8 \cos (8 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 8$ .

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} \cos (8 \cdot 0)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{16}{3} \cos (0)$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{16}{3} \cdot 1$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $1$ .

$\frac{16}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{3}$

Dezimalform:

$5.\overline{3}$