Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{3^{x} - 1}{5^{x} - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3^{x} - 1}{lim_{x \to 8} 5^{x} - 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3^{x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 5^{x} - 4}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 5^{x} - 4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} 5^{x} - 4}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} 5^{x} - lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{5^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{5^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3^{8} - 1 \cdot 1}{5^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3^{8} - 1 \cdot 1}{5^{8} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $3$ mit $8$ .

$\frac{6561 - 1 \cdot 1}{5^{8} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6561 - 1}{5^{8} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $1$ von $6561$ .

$\frac{6560}{5^{8} - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $5$ mit $8$ .

$\frac{6560}{390625 - 1 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{6560}{390625 - 4}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $4$ von $390625$ .

$\frac{6560}{390621}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{6560}{390621}$

Dezimalform:

$0.01679377 \dots$