Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $\sin (2 \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

Schritt 11.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

Schritt 11.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

Schritt 11.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

Schritt 11.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $\frac{4}{π}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

Schritt 11.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{3 π}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3 π}$

Dezimalform:

$0.42441318 \dots$