Elementarmathematik Beispiele

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $w$ ist.

$\frac{3 lim_{w \to 4} \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $w$ sich $4$ annähert.

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $4$ für $w$ .

$\frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - lim_{w \to 4} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $w$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $4$ für $w$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4} = lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sqrt{w} - 6$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w}$ als $w^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $3 w^{\frac{1}{2}}$ nach $w$ gleich $3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $w^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3 w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.3.11

Bringe $w^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w - 4$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe $w^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{w}$ um.

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{w}}$ mit $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $w$ ist.

$\frac{3}{2} lim_{w \to 4} \frac{1}{\sqrt{w}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $w$ sich an $4$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{w \to 4} 1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $w$ sich $4$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{w \to 4} w}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $w$ durch Einsetzen von $4$ für $w$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$