Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

Schritt 1.1.3.7.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

Schritt 1.1.3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

Schritt 1.1.3.7.3

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

Schritt 1.1.3.7.4

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.7.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $24 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $12 x - 5$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $24$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

$24 (\frac{1}{4})$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$4 (6) \frac{1}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$6$