Elementarmathematik Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{(3 n + 4) (1 - n)}{n^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} (3 n + 4) (1 - n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n + 4 \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot lim_{n \to 8} 1 - n}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (lim_{n \to 8} 1 - lim_{n \to 8} n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{lim_{n \to 8} n^{2}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(3 lim_{n \to 8} n + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - lim_{n \to 8} n)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - 8)}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 4) \cdot (1 - 8)}{8^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(24 + 4) (1 - 8)}{8^{2}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $24$ und $4$ .

$\frac{28 (1 - 8)}{8^{2}}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$\frac{28 \cdot - 7}{8^{2}}$

Schritt 10.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{28 \cdot - 7}{64}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $28$ mit $- 7$ .

$\frac{- 196}{64}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 196$ und $64$ .

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 196$ heraus.

$\frac{4 (- 49)}{64}$

Schritt 10.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 49}{4 \cdot 16}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 49}{4 \cdot 16}$

Schritt 10.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 49}{16}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49}{16}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{49}{16}$

Dezimalform:

$- 3.0625$