Elementarmathematik Beispiele

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $n^{n}$ als $e^{\ln (n^{n})}$ um.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (n^{n})$ durch Herausziehen von $n$ aus dem Logarithmus.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $n!$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $8!$ nach $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ aus.

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $56$ mit $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $336$ mit $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $1680$ mit $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $6720$ mit $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $20160$ mit $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $40320$ mit $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $8 \cdot \ln (8)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Schritt 5.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40320$ und $16777216$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $128$ aus $40320$ heraus.

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $128$ aus $16777216$ heraus.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{315}{131072}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{315}{131072}$

Dezimalform:

$0.00240325 \dots$