Elementarmathematik Beispiele

$lim_{n \to 8} \sqrt{3 n^{2} - 5 n + 7} - n \sqrt{3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$lim_{n \to 8} \sqrt{3 n^{2} - 5 n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{n \to 8} 3 n^{2} - 5 n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{n \to 8} 3 n^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\sqrt{3 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $n^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 5 n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - lim_{n \to 8} n \sqrt{3}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\sqrt{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\sqrt{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $n$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 lim_{n \to 8} n + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} lim_{n \to 8} n$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $n$ durch Einsetzen von $8$ für $n$ .

$\sqrt{3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{3 \cdot 64 - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\sqrt{192 - 5 \cdot 8 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\sqrt{192 - 40 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10.4

Subtrahiere $40$ von $192$ .

$\sqrt{152 + 7} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10.5

Addiere $152$ und $7$ .

$\sqrt{159} - \sqrt{3} \cdot 8$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\sqrt{159} - 8 \sqrt{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{159} - 8 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 1.24688624 \dots$