Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 3} (x^{4} - 3) (x^{2} + 5 x + 3)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$lim_{x \to 3} x^{4} - 3 \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$(lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3)$

Schritt 7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$(3^{4} - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$(81 - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(81 - 3) \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von $81$ .

$78 \cdot (3^{2} + 5 \cdot 3 + 3)$

Schritt 10.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$78 \cdot (9 + 5 \cdot 3 + 3)$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$78 \cdot (9 + 15 + 3)$

Schritt 10.4

Addiere $9$ und $15$ .

$78 \cdot (24 + 3)$

Schritt 10.5

Addiere $24$ und $3$ .

$78 \cdot 27$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $78$ mit $27$ .

$2106$