Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{4 + 2 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{2 x - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} 2 x + 1$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1)$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 2} x + 1)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 + 1)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (4 + 1)$

Schritt 4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$