Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sqrt{x - 3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.12

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.14

Mutltipliziere $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.4.15

Bringe ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.5

Schreibe ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x - 3}$ um.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $7$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{14}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $14$ mit $4$ .

$- \frac{1}{56}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{56}$

Dezimalform:

$- 0.01785714 \dots$