Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 4 x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 4 \cdot 1 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + 2 x - 3}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Schritt 1.1.3.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.1.3.6.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} + 2 x - 3} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2 + 0}$

Schritt 1.3.11

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 4}{2 x + 2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 4$ und $2 x + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) - 4}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 2)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 x + 2}$

Schritt 1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x) + 2 (1)}$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Schritt 1.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 2)}{2 (x + 1)}$

Schritt 1.4.4.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{1 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{1 + 1}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1}$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$