Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.1.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (x)$ heraus.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - \sin (x)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))$ heraus.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$

Schritt 3.5

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$ zum Zähler.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{- \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 3.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) - \cos (x)}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$ ist eine Identitätsgleichung