Elementarmathematik Beispiele

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Schritt 4

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Schritt 5

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (x))$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (x))$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) - \sin (x))$ ist eine Identitätsgleichung