Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $- - \cos (x)$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.5

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.9

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.11

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.5.11.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.11.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.11.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (x) + 1$ und $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als $\cot (x)$ um.

$\cot (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung