Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)} = \tan (a) + \tan (B)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (a) \cos (B) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (a) \cos (B)}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (B) \sin (a) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (B) \cos (a)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\tan (a) + \tan (B)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\tan (a)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \tan (B)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (B)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$

Schritt 6

Addiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\cos (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$

Schritt 6.2

Um $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\cos (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (a) \cos (B)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ mit $\frac{\cos (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (a) \cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ mit $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (a) \cos (B)} + \frac{\sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Schritt 6.3.3

Stelle die Faktoren von $\cos (a) \cos (B)$ um.

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (B) \cos (a)} + \frac{\sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (a) \cos (B) + \sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (B) \sin (a) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (B) \cos (a)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)} = \tan (a) + \tan (B)$ ist eine Identitätsgleichung