Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} = \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ mit $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\sin (a) (1 + \cos (a))}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \cos (a)}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 (1 + \cos (a)) - \cos (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (a) - \cos (a) (1 + \cos (a))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos (a)}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 - \cos^{2} (a)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{\sin^{2} (a)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\sin (a) + \sin (a) \cos (a)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \cos (a)}{{\sin (a)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\sin (a) \cos (a)$ heraus.

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (\cos (a))}{{\sin (a)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $\sin (a)$ aus $\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (\cos (a))$ heraus.

$\frac{\sin (a) (1 + \cos (a))}{{\sin (a)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} = \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ ist eine Identitätsgleichung