Elementarmathematik Beispiele

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc^{4} (A)$ als ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ um.

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot^{4} (A)$ als ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ um.

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Schritt 2.3

Stelle $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ und ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ um.

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \csc^{2} (A)$ und $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\csc (A)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (A)}$ an.

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.5.4

Schreibe $\cot (A)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.5.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ an.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Schritt 2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 4

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (A)$ an.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (A)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ ist eine Identitätsgleichung