Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ mit $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 4.3

Multipliziere $\sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 6.1

Stelle $1$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Schritt 6.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Schritt 6.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 7.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.3

Um $\frac{1}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\cos (x)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 8.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus $- {\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.6.4

Forme den Ausdruck um.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.9

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Schritt 8.10

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung