Elementarmathematik Beispiele

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 2 \csc^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\csc^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1 + \csc^{2} (x)$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1 + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1 + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1 + \frac{1^{2} + 1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + \frac{1 + 1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + \frac{1 + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 + \frac{2}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $- 1 + \frac{2}{\sin^{2} (x)}$ als $2 \csc^{2} (x) - 1$ um.

$2 \csc^{2} (x) - 1$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 2 \csc^{2} (x) - 1$ ist eine Identitätsgleichung