Elementarmathematik Beispiele

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 2

Addiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ mit $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ mit $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ um.

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\csc (x) - \cot (x) + \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Addiere $\csc (x)$ und $\csc (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) - \cot (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.2

Addiere $- \cot (x)$ und $\cot (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) + 0}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $2 \csc (x)$ und $0$ .

$\frac{2 \csc (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 \csc (x)}{1}$

Schritt 6

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)}}{1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Dividiere $2 \frac{1}{\sin (x)}$ durch $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{2}{\sin (x)}$ als $2 \csc (x)$ um.

$2 \csc (x)$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ ist eine Identitätsgleichung