Elementarmathematik Beispiele

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Schritt 2

Um $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Schritt 3

Um $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ mit $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ mit $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ um.

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(a + b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Schritt 6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a (- b)$ und $b a$ neu an.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.2.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.3.1

Bewege $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.3.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.5

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.8

Multipliziere $b$ mit $b^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.1

Bewege $b^{2}$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $b$ .

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Schritt 6.8.2.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 6.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Schritt 7

Mutltipliziere $a + b i$ mit $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ .

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$