Elementarmathematik Beispiele

$\sin (195) \cdot \cos (45)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (195)$ ist $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sin (15) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.2

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \sin (45 - 30) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.3

Separiere die Negation.

$- \sin (45 - (30)) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.4

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$- (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.8

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.9.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.9.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \cos (45)$

Schritt 1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos (45)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 6

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 7.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 7.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 7.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Schritt 7.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{3} - 2$ und $8$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Schritt 8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Dezimalform:

$- 0.18301270 \dots$