Elementarmathematik Beispiele

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{3 π}{4})$

Schritt 1

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

Schritt 2

Um $\frac{3 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + 3 π \cdot 3}{12})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\tan (\frac{2 π + 9 π}{12})$

Schritt 5.3

Addiere $2 π$ und $9 π$ .

$\tan (\frac{11 π}{12})$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (\frac{11 π}{12})$ ist $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \tan (\frac{π}{12})$

Schritt 6.2

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 6.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Schritt 6.7

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.8

Vereinfache $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 6.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 6.8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Schritt 6.8.1.2

Kombinieren.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.8.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.8.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.8.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.8.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 6.8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 6.8.6

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Schritt 6.8.7

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 6.8.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.8.9

Vereinfache.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.10.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.10.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 6.8.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 6.8.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 6.8.11

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.12

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.8.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.8.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 6.8.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.8.13.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 6.8.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 6.8.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.13.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 6.8.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.8.14.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 6.8.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.8.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 6.8.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 6.8.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 6.8.14.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Schritt 6.8.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 6.8.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 6.8.17

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.8.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Schritt 6.8.17.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 0.26794919 \dots$