Elementarmathematik Beispiele

$| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{1}{2} x - 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} \geq 1$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x \geq 2$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{1}{2} x - 1$ nicht negativ ist.

$\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{1}{2} x - 1 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 < 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} < 1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x < 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x < 2$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{1}{2} x - 1$ negativ ist.

$- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} - 1 + \frac{x + 3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Addiere $x$ und $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{4 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 (1)} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 x}{1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.8.4.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{x}{2} - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} - - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{- x + 3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Addiere $- x$ und $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $- 1 + 2 x < 10$ , wenn $x \geq 2$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $- 1 + 2 x < 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 10 + 1$

Schritt 2.1.1.2

Addiere $10$ und $1$ .

$2 x < 11$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 11$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 11$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{11}{2}$ und $x \geq 2$ .

$2 \leq x < \frac{11}{2}$

Schritt 3

Löse $1 + x < 10$ , wenn $x < 2$ ergibt.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 10 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$x < 9$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 9$ und $x < 2$ .

$x < 2$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < \frac{11}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{11}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{11}{2})$

Schritt 6