Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x + 1) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 9.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $2.08\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $2.1\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $x > 0$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1 or x > 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Schritt 14