Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{13}{4 - x^{2}}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{2}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{x}{2 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (2 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 2}$ mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 - x}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (2 - x)$ um.

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.7

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.6.8

Addiere $4 + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.7

Stelle die Terme um.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Schritt 2.8

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (2 - x)$ um.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Subtrahiere $13$ von $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Schritt 2.10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Schritt 2.10.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 11.2.2

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 11.2.2.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 11.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 11.2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 11.2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 - x) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 2$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 1.25$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.40625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2.5$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 4.\overline{5}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 5.\overline{7}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $1$ ist kleiner als die rechte Seite $3.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $- 4.\overline{5}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 5.\overline{7}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 13.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Schritt 13.5.3

Die linke Seite $- 1.25$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.40625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $- 2 < x < 2$ oder $x > 3$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Schritt 16