Elementarmathematik Beispiele

$1 + \frac{3 y}{1 - y} > 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} > 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} > 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2 (1 - y)}{1 - y} > 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 (1 - y)}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 \cdot 1 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- y + 3 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.5

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$\frac{2 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.6

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$\frac{4 y - 1}{- y + 1} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{4 y - 1}{- (y) + 1} > 0$

Schritt 2.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{4 y - 1}{- (y) - 1 (- 1)} > 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 y - 1}{- (y - 1)} > 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$\frac{4 y - 1}{- 1 (y - 1)} > 0$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 y - 1}{y - 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 y - 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$y = \frac{1}{4}$

$y = 1$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$y = \frac{1}{4}, 1$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{4 y - 1}{y - 1}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{4 y - 1}{y - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y - 1 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < y < 1$

$y > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $y < \frac{1}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < \frac{1}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $y$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{3 (0)}{1 - (0)} > 2$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $1$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{4} < y < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{4} < y < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0.62$

Schritt 11.2.2

Ersetze $y$ durch $0.62$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{3 (0.62)}{1 - (0.62)} > 2$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $5.89473684$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $y > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $y$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 + \frac{3 (4)}{1 - (4)} > 2$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 3$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < \frac{1}{4}$ Falsch

$\frac{1}{4} < y < 1$ Wahr

$y > 1$ Falsch

$y < \frac{1}{4}$ Falsch

$\frac{1}{4} < y < 1$ Wahr

$y > 1$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{4} < y < 1$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{4} < y < 1$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{4}, 1)$

Schritt 14