Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 y + 7} < 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{2 y + 7}}^{2} < 5^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y + 7}$ als ${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 5^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 7)}^{1} < 5^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 y + 7 < 5^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 y + 7 < 25$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 y < 25 - 7$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $7$ von $25$ .

$2 y < 18$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y < 18$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y < 18$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{18}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $18$ durch $2$ .

$y < 9$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{2 y + 7} - 5$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 y + 7}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 y + 7 \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 y \geq - 7$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y \geq - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y \geq - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \geq \frac{- 7}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y \geq - \frac{7}{2}$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{7}{2}, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < y < 9$

$y > 9$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $y < - \frac{7}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < - \frac{7}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 6$

Schritt 6.1.2

Ersetze $y$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (- 6) + 7} < 5$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7}{2} < y < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7}{2} < y < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $y$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (0) + 7} < 5$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2.64575131$ ist kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $y > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 12$

Schritt 6.3.2

Ersetze $y$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{2 (12) + 7} < 5$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $5.56776436$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < - \frac{7}{2}$ Falsch

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Wahr

$y > 9$ Falsch

$y < - \frac{7}{2}$ Falsch

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Wahr

$y > 9$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{7}{2}, 9)$

Schritt 9