Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + h)}^{4} - x^{4}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + h)}^{4}$ als ${({(x + h)}^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - x^{4}}{h}$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{h}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + h)}^{2}$ und $b = x^{2}$ .

$\frac{({(x + h)}^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{((x + h) (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x (x + h) + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x h + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{(x^{2} + h x + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.4

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Schritt 1.4.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((x + h + x) (x + h - x))}{h}$

Schritt 1.4.6

Vereinfache.

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Schritt 1.4.6.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (x + h - x))}{h}$

Schritt 1.4.6.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (h + 0))}{h}$

Schritt 1.4.6.3

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) h)}{h}$

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Schritt 2.2

Dividiere $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ durch $1$ .

$(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$

Schritt 3

Multipliziere $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{2} h + 2 x^{2} (2 x) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 (h \cdot h) x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h (x \cdot x) \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.7

Multipliziere $h^{2}$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $h$ .

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $h$ mit $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h^{1} + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2 + 1} + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + h^{2} (2 x)$

Schritt 4.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Schritt 5

Addiere $2 x^{2} h$ und $4 h x^{2}$ .

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Schritt 5.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Schritt 5.2

Addiere $2 h x^{2}$ und $4 h x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 6 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Schritt 6

Addiere $2 h^{2} x$ und $2 h^{2} x$ .

$4 x^{3} + 6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x$

Schritt 7

Stelle um.

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Schritt 7.1

Bewege $4 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x + 4 x^{3}$

Schritt 7.2

Bewege $6 h x^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$