Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1 + x^{- 1}}{1 - x^{- 2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - x^{- 2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{1 - x^{- 2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{1 - x^{- 2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{1^{2} - x^{- 2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $x^{- 2}$ als ${(x^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{1^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x^{- 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{(1 + x^{- 1}) (1 - x^{- 1})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{(1 + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 1})}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 1})}$

Schritt 2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x + 1}{x} (1 - x^{- 1})}$

Schritt 2.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x + 1}{x} (1 - \frac{1}{x})}$

Schritt 2.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x + 1}{x} (\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{1} x}}$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{1} x^{1}}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{1 + 1}}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x - 1}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{x - 1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{x - 1}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{x - 1}$