Elementarmathematik Beispiele

${(\sqrt{3} - i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{5}$ als $\sqrt{3^{5}}$ um.

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{27} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.11.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} (1 i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.19.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.19.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.5

Berechne den Exponenten.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- - i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.26

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (1 i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.28

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.29

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.30

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.31

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.31.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.32

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- i)}^{5}$

Schritt 2.1.33

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.34

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i^{5}$

Schritt 2.1.35

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (i^{4} i)$

Schritt 2.1.36

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.36.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.36.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.36.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (1 i)$

Schritt 2.1.37

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $30 \sqrt{3}$ von $9 \sqrt{3}$ .

$- 45 i - 21 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 45 i$ und $30 i$ .

$- 15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} - i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $i$ von $- 15 i$ .

$- 16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 21 \sqrt{3}$ und $5 \sqrt{3}$ .

$- 16 i - 16 \sqrt{3}$

Schritt 2.2.5

Stelle $- 16 i$ und $- 16 \sqrt{3}$ um.

$- 16 \sqrt{3} - 16 i$