Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i)}^{3}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $i$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{1}}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3}{2^{2}} \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{3}{4}) \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $3 (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 3.1.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8

Multipliziere $\frac{9}{4} \cdot \frac{i}{2}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{i}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + 3 \frac{\sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{i}{2})}^{2} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{i}{2}$ an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.11

Kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 3.1.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.13.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{i}{2}$ an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.17.1

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{i^{2} \cdot i}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 1 \cdot i}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.3

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{2^{3}}$

Schritt 3.1.18

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- i}{8}$

Schritt 3.1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 i}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{i}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} - i}{8}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 9 i - i}{8}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $9 i$ .

$\frac{9 i - i}{8}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $i$ von $9 i$ .

$\frac{8 i}{8}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 i}{8}$

Schritt 3.2.5.2

Dividiere $i$ durch $1$ .

$i$