Elementarmathematik Beispiele

${(- 1 + \sqrt{3 i})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt{3 i}}^{2}$ als $3 i$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 i}$ als ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{1} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 (3 i) + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Schritt 2.7

Schreibe ${\sqrt{3 i}}^{3}$ als $\sqrt{{(3 i)}^{3}}$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{3}}$

Schritt 2.8

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{3^{3} i^{3}}$

Schritt 2.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 i^{3}}$

Schritt 2.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 (- 1 \cdot i)}$

Schritt 2.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 \cdot - 1 i}$

Schritt 2.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- (27 i)}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- 27 i}$

Schritt 2.14

Schreibe $- 27 i$ als ${(3 i)}^{2} \cdot (3 i)$ um.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 27$ heraus.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- 9 (3) i}$

Schritt 2.14.2

Schreibe $- 9$ als ${(3 i)}^{2}$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot 3 i}$

Schritt 2.14.3

Füge Klammern hinzu.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot (3 i)}$

Schritt 2.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + 3 i \sqrt{3 i}$