Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{x^{8} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{8} y^{2}$ als ${(x^{2})}^{3} (x^{2} y^{2})$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} (x^{2} y^{2})}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}}$

Schritt 3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$

Schritt 3.1.6

Schreibe ${\sqrt{x y}}^{2}$ als $x y$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}}$

Schritt 3.1.6.5

Vereinfache.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{x y}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}$ heraus.

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x y}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x (y)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x y}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{y}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ als ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ um.

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(x y)}^{3}}$ um.

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Schritt 4.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} y^{2}}$ als ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} {(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}})}{y}$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ um.

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} {(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}})}{y}$

Schritt 4.1.6

Schreibe ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(x^{2} y^{2})}^{2}}$ um.

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} \sqrt[6]{{(x^{2} y^{2})}^{2}})}{y}$

Schritt 4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{3} {(x^{2} y^{2})}^{2}}}{y}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} {(x^{2} y^{2})}^{2}}}{y}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $x^{2} y^{2}$ an.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{2 \cdot 2} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Schritt 4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} y^{2 \cdot 2}}}{y}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} y^{4}}}{y}$

Schritt 4.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} x^{3} y^{3} y^{4}}}{y}$

Schritt 4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4 + 3} y^{3} y^{4}}}{y}$

Schritt 4.7.1.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{3} y^{4}}}{y}$

Schritt 4.7.2

Multipliziere $y^{3}$ mit $y^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.2.1

Bewege $y^{4}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} (y^{4} y^{3})}}{y}$

Schritt 4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{4 + 3}}}{y}$

Schritt 4.7.2.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{7}}}{y}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $x^{7} y^{7}$ als ${(x y)}^{6} (x y)$ um.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} x y^{7}}}{y}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $y^{6}$ aus.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} x (y^{6} y)}}{y}$

Schritt 5.1.3

Bewege $x$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} y^{6} x y}}{y}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $x^{6} y^{6}$ als ${(x y)}^{6}$ um.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{6} x y}}{y}$

Schritt 5.1.5

Füge Klammern hinzu.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{6} (x y)}}{y}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x \cdot x y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Schritt 6.2

Dividiere $x^{2} \sqrt[6]{x y}$ durch $1$ .

$x^{2} \sqrt[6]{x y}$