Elementarmathematik Beispiele

$\frac{e^{1.5} - e^{- 1.5}}{2}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.2

Um $e^{1.5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{1.5}}{e^{1.5}}$ .

$\frac{\frac{e^{1.5} e^{1.5}}{e^{1.5}} - \frac{1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{1.5} e^{1.5} - 1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{e^{1.5} e^{1.5} - 1}{e^{1.5}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $e^{1.5}$ mit $e^{1.5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{1.5 + 1.5} - 1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $1.5$ und $1.5$ .

$\frac{\frac{e^{3} - 1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $e^{3} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $e^{3}$ als ${(e^{1})}^{3}$ um.

$\frac{\frac{{(e^{1})}^{3} - 1}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{\frac{{(e^{1})}^{3} - 1^{3}}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = e^{1}$ und $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e^{1} - 1) ({(e^{1})}^{2} + e^{1} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.4.1

Vereinfache.

$\frac{\frac{(e - 1) ({(e^{1})}^{2} + e^{1} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{1})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(e - 1) (e^{1 \cdot 2} + e^{1} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e - 1) (e^{2} + e^{1} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.3

Vereinfache.

$\frac{\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.4

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 1.4.2.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{e^{1.5}}}{2}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{e^{1.5}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1) \cdot 1}{e^{1.5} \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $e - 1$ mit $1$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{e^{1.5} \cdot 2}$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{1.5}$ .

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{2 e^{1.5}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{2 e^{1.5}}$

Dezimalform:

$2.12927945 \dots$