Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{32 x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $32 x^{7} y^{5}$ als ${(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot (2 x y)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (2) x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 (x^{6} x) y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.4

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $y^{4}$ aus.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) (y^{4} y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.6

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) ({(y^{2})}^{2} y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.7

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2}) {(y^{2})}^{2} x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.8

Bewege $2$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} ({(x^{3})}^{2}) {(y^{2})}^{2} \cdot 2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.9

Schreibe $(4^{2} ({(x^{3})}^{2})) {(y^{2})}^{2}$ als ${(4 x^{3} y^{2})}^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot 2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.10

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot 2 (x y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.1.11

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot (2 x y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{\sqrt[3]{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt[3]{2 x y}$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{1} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{3}}$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x y}}^{3}$ als $2 x y$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x y}$ als ${(2 x y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{({(2 x y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{1}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{2 x y}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 x y}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 (x y)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 (x y)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{x y}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x y}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x (y)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x y}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{y}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y^{1}}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{1}$

Schritt 6.2.5

Dividiere $2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ durch $1$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$

Schritt 7

Schreibe ${\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(2 x y)}^{2}}$ um.

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{{(2 x y)}^{2}}$

Schritt 8

Wende die Produktregel auf $2 x y$ an.

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{{(2 x)}^{2} y^{2}}$

Schritt 9

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{2^{2} x^{2} y^{2}}$

Schritt 10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$

Schritt 11

Multipliziere $2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$ .

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Schritt 11.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 11.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$ als ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 x^{2} y ({(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}} \sqrt{2 x y})$

Schritt 11.1.2

Schreibe ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ um.

$2 x^{2} y ({(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}} \sqrt{2 x y})$

Schritt 11.1.3

Schreibe ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}}$ um.

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} \sqrt{2 x y})$

Schritt 11.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x y}$ als ${(2 x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} {(2 x y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11.1.5

Schreibe ${(2 x y)}^{\frac{1}{2}}$ als ${(2 x y)}^{\frac{3}{6}}$ um.

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} {(2 x y)}^{\frac{3}{6}})$

Schritt 11.1.6

Schreibe ${(2 x y)}^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(2 x y)}^{3}}$ um.

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} \sqrt[6]{{(2 x y)}^{3}})$

Schritt 11.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2} {(2 x y)}^{3}}$

Schritt 11.3

Wende die Produktregel auf $4 x^{2} y^{2}$ an.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x y)}^{3}}$

Schritt 11.4

Wende die Produktregel auf $2 x y$ an.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.5

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{4^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 11.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{2 \cdot 2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.8

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 11.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{2 \cdot 2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Schritt 11.9

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} (2^{3} x^{3}) y^{3}}$

Schritt 11.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} \cdot 8 x^{3} y^{3}}$

Schritt 11.11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.11.1

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{4} y^{4} x^{3} y^{3}}$

Schritt 11.11.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.11.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 (x^{3} x^{4}) y^{4} y^{3}}$

Schritt 11.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{3 + 4} y^{4} y^{3}}$

Schritt 11.11.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{4} y^{3}}$

Schritt 11.11.3

Multipliziere $y^{4}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.11.3.1

Bewege $y^{3}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} (y^{3} y^{4})}$

Schritt 11.11.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{3 + 4}}$

Schritt 11.11.3.3

Addiere $3$ und $4$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{7}}$

Schritt 12

Schreibe $128 x^{7} y^{7}$ als ${(2 x y)}^{6} \cdot (2 x y)$ um.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{64 (2) x^{7} y^{7}}$

Schritt 12.2

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 x^{7} y^{7}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6} x) y^{7}}$

Schritt 12.4

Faktorisiere $y^{6}$ aus.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6} x) (y^{6} y)}$

Schritt 12.5

Bewege $x$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6}) y^{6} x y}$

Schritt 12.6

Bewege $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{(2^{6} (x^{6})) y^{6} \cdot 2 x y}$

Schritt 12.7

Schreibe $(2^{6} (x^{6})) y^{6}$ als ${(2 x y)}^{6}$ um.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot 2 x y}$

Schritt 12.8

Füge Klammern hinzu.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot 2 (x y)}$

Schritt 12.9

Füge Klammern hinzu.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot (2 x y)}$

Schritt 13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 x^{2} y (2 x y \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 14.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 2} y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 14.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 15

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1

Bewege $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) (2 \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 x^{3} y^{2} (2 \sqrt[6]{2 x y})$

Schritt 16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} y^{2} \sqrt[6]{2 x y}$