Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{x} - x)}{x^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x + x^{2} (- x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (- x)$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (x (- x))$ heraus.

$\frac{x (1 + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (1^{2} + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.3

Schreibe $x (x)$ als $x^{2}$ um.

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $x^{2} \cdot 1$ als ${(x \cdot 1)}^{2}$ um.

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x \cdot 1$ und $b = 1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x \cdot 1 + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und $x + 1$ .

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Schritt 6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 - x)}{x - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{x (- 1 (- 1) - x)}{x - 1}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{x - 1}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- 1 + x))}{x - 1}$

Schritt 6.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 6.2.6

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$x \cdot (- 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 x$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x$