Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Schritt 1.2

Um $\frac{1}{x^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{3} x^{3}$ um.

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5

Schreibe $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.4

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.5

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.6.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.6.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 1.5.2.6.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.6.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.8

Subtrahiere $x h$ von $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.9

Addiere $- x h$ und $2 h x$ .

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Schritt 1.5.2.9.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.9.2

Addiere $- 1 h x$ und $2 h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 1.5.2.10

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2 x + h$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ um.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$