Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 11 x + 28 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} - 11 x + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 4$

Schritt 2.7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.9

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 7, 4$

$x = 1, - 1$

Schritt 2.12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 7, 4, 1, - 1$

Schritt 2.13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ .

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Schritt 2.13.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.13.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.13.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 2.15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 28}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2.15.1.3

Die linke Seite $5.8\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.15.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 11 \cdot 0 + 28}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2.15.2.3

Die linke Seite $- 28$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.15.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.15.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} - 11 \cdot 2 + 28}{{(2)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2.15.3.3

Die linke Seite $3.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.15.4

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.15.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 11 \cdot 6 + 28}{{(6)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2.15.4.3

Die linke Seite $- 0.0\overline{571428}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.15.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.15.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 2.15.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(10)}^{2} - 11 \cdot 10 + 28}{{(10)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 2.15.5.3

Die linke Seite $0.\overline{18}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.15.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 2.16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $1 < x \leq 4$ oder $x \geq 7$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (1, 4] \cup [7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 1, 1 < x \leq 4, x \geq 7}$

Schritt 6