Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 49}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 49}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{x^{2} - 49} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} - 49 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 49$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{49}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{49}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 7$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, - 7$

Schritt 2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 7, - 7$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 7, - 7$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{x^{2} - 49}$ .

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Schritt 2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} - 49}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 49 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 49$

Schritt 2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{49}$

Schritt 2.8.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{49}$ .

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Schritt 2.8.2.3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Schritt 2.8.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 7$

Schritt 2.8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7$

Schritt 2.8.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7$

Schritt 2.8.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, - 7$

Schritt 2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 10}{{(- 10)}^{2} - 49} \geq 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $- 0.19607843$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 4}{{(- 4)}^{2} - 49} \geq 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $0.\overline{12}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{{(4)}^{2} - 49} \geq 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{12}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 2.10.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{10}{{(10)}^{2} - 49} \geq 0$

Schritt 2.10.4.3

Die linke Seite $0.19607843$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x \leq 0$ oder $x > 7$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} - 49}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 49 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 49$

Schritt 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{49}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{49}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 7$

Schritt 4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7$

Schritt 4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7$

Schritt 4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, - 7$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 7, 0] \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 7 < x \leq 0, x > 7}$

Schritt 6