Elementarmathematik Beispiele

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Die logarithmische Basis $8$ von $16$ ist $\frac{4}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) + \frac{4}{3} = 2$

Schritt 1.2

Um $2 \log_{8} (x - 2)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $2 \log_{8} (x - 2)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4}{3} = 2$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 4}{3} = 2$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2}{3} = 2$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 2)}{3} = 2$

Schritt 1.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log_{8} (x - 2)$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} = 2$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{8} (x - 2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2) = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache $2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{3 \cdot 2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 2 \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 6$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $\log_{8} ({(x - 2)}^{6})$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 6 - 4$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$

Schritt 4.2

Schreibe $\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$8^{2} = {(x - 2)}^{6}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als ${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$ um.

${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$

Schritt 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{8^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{8^{2}}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{64}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Schritt 4.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 2 = \pm 2$

Schritt 4.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 2 = 2$

Schritt 4.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + 2$

Schritt 4.3.4.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x = 4$

Schritt 4.3.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 2 = - 2$

Schritt 4.3.4.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.4.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 2$

Schritt 4.3.4.4.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, 0$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 4$