Elementarmathematik Beispiele

$15 x^{\frac{2}{3}} - 11 x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$15 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 11 x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{3}}$ .

$15 u^{2} - 11 u + 2 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 15 \cdot 2 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$15 u^{2} - 11 u + 2 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 5$ plus $- 6$

$15 u^{2} + (- 5 - 6) u + 2 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$15 u^{2} - 5 u - 6 u + 2 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(15 u^{2} - 5 u) - 6 u + 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (5 u - 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (5 x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$5 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$27 x = 1^{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$27 x = 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 1$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 1$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{1}{27}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{1}{27}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{27}$

Schritt 4

Setze $5 x^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $5 x^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

$5 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $5 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$125 x^{1} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$125 x = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$125 x = 8$

Schritt 4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $125 x = 8$ durch $125$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $125 x = 8$ durch $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{8}{125}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125 x}{125} = \frac{8}{125}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{125}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (5 x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{27}, \frac{8}{125}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{27}, \frac{8}{125}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{037}, 0.064$