Elementarmathematik Beispiele

$1250 = \frac{1}{10} x (300 - x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{10} \cdot (x (300 - x)) = 1250$ um.

$\frac{1}{10} \cdot (x (300 - x)) = 1250$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $10$ .

$10 (\frac{1}{10} \cdot (x (300 - x))) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $10 (\frac{1}{10} \cdot (x (300 - x)))$ .

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (\frac{1}{10} \cdot (x \cdot 300 + x (- x))) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 3.1.1.1.2.1

Bringe $300$ auf die linke Seite von $x$ .

$10 (\frac{1}{10} \cdot (300 \cdot x + x (- x))) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 (\frac{1}{10} \cdot (300 \cdot x - x \cdot x)) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$10 (\frac{1}{10} \cdot (300 x - (x \cdot x))) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 (\frac{1}{10} \cdot (300 x - x^{2})) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (\frac{1}{10} (300 x) + \frac{1}{10} (- x^{2})) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $300 x$ heraus.

$10 (\frac{1}{10} (10 (30 x)) + \frac{1}{10} (- x^{2})) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (\frac{1}{10} (10 (30 x)) + \frac{1}{10} (- x^{2})) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 (30 x + \frac{1}{10} (- x^{2})) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x^{2}$ .

$10 (30 x - \frac{x^{2}}{10}) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (30 x) + 10 (- \frac{x^{2}}{10}) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.5

Mutltipliziere $30$ mit $10$ .

$300 x + 10 (- \frac{x^{2}}{10}) = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.1.1.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{10}$ in den Zähler.

$300 x + 10 \frac{- x^{2}}{10} = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$300 x + 10 \frac{- x^{2}}{10} = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.1.1.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$300 x - x^{2} = 10 \cdot 1250$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $1250$ .

$300 x - x^{2} = 12500$

Schritt 4

Subtrahiere $12500$ von beiden Seiten der Gleichung.

$300 x - x^{2} - 12500 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $300 x - x^{2} - 12500$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Stelle $300 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 300 x - 12500 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 300 x - 12500 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $300 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 300 x) - 12500 = 0$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 12500$ als $- 1 (12500)$ um.

$- (x^{2}) - (- 300 x) - 1 \cdot 12500 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 300 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 300 x) - 1 \cdot 12500 = 0$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 300 x) - 1 (12500)$ heraus.

$- (x^{2} - 300 x + 12500) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 300 x + 12500$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12500$ und deren Summe $- 300$ ist.

$- 250, - 50$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 250) (x - 50)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 250) (x - 50) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 250 = 0$

$x - 50 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 250$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 250$ gleich $0$ .

$x - 250 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $250$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 250$

Schritt 8

Setze $x - 50$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 50$ gleich $0$ .

$x - 50 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $50$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 50$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 250) (x - 50) = 0$ wahr machen.

$x = 250, 50$