Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 2 (a + 1) x + 3 a + 2 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + (- 2 a - 2 \cdot 1) x + 3 a + 2 = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{2} + (- 2 a - 2) x + 3 a + 2 = 0$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 a x - 2 x + 3 a + 2 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 a - 2$ und $c = 3 a + 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 a - 2) \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 a) + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (3 a + 2)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (3 a + 2)$ .

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe ${(- 2 a - 2)}^{2}$ als $(- 2 a - 2) (- 2 a - 2)$ um.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{(- 2 a - 2) (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(- 2 a - 2) (- 2 a - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a - 2) - 2 (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 a \cdot a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (a \cdot a)) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 a^{2}) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 4 a - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 4 a + 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3.2

Addiere $4 a$ und $4 a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 8 a + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 a$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 (1) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2}) + 4 (2 a)$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} + 2 a) + 4 (1)$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (a^{2} + 2 a + 1) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (3 a + 2)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (1 \cdot (3 a + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.1.1

Mutltipliziere $3 a + 2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (3 a) - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - 3 a - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - 3 a - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $3 a$ von $2 a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} - a + 1 - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} - a - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{2^{2} (a^{2} - a - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 a + 2 \pm 2 \sqrt{a^{2} - a - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm 2 \sqrt{a^{2} - a - 1}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = a + 1 + \sqrt{a^{2} - a - 1}$

$x = a + 1 - \sqrt{a^{2} - a - 1}$