Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} - 27 + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{3} - 3^{3} + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Schritt 1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2} - 21 x$ heraus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x) - 21 x = 0$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $7 x$ aus $- 21 x$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x) + 7 x (- 3) = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x) + 7 x (- 3)$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x - 3) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x - 3)$ heraus.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $7 x (x - 3)$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + (x - 3) (7 x) = 0$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + (x - 3) (7 x)$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9 + 7 x) = 0$

Schritt 1.7

Addiere $3 x$ und $7 x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 10 x + 9) = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 10 x + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $10$ ist.

$1, 9$

Schritt 1.8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) ((x + 1) (x + 9)) = 0$

Schritt 1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x + 1) (x + 9) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 1) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1, - 9$