Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} = \frac{1}{8}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - \frac{1}{8} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{1}{2})}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + x (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{1}{2} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 4

Setze $x - \frac{1}{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - \frac{1}{2}$ gleich $0$ .

$x - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $4$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 2 x + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 2 x + 4 (\frac{1}{4}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$