Elementarmathematik Beispiele

$2^{2 x} + 2^{x} = 12$

Schritt 1

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} = 12$

Schritt 2

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} + u = 12$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + u - 12 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $u^{2} + u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 4 = 0$

Schritt 3.4

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 3.5

Setze $u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u + 4$ gleich $0$ .

$u + 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 4$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u + 4) = 0$ wahr machen.

$u = 3, - 4$

Schritt 4

Setze $3$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$3 = 2^{x}$

Schritt 5

Löse $3 = 2^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 3$ um.

$2^{x} = 3$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (3)$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (3)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (3)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 6

Setze $- 4$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$- 4 = 2^{x}$

Schritt 7

Löse $- 4 = 2^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = - 4$ um.

$2^{x} = - 4$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 4)$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 4)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 4$

Keine Lösung

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 1.58496250 \dots$